有理多项式模型及其在中巴卫星数据几何精纠正中的应用

引用本文

孟昆, 李纪娜. 有理多项式模型及其在中巴卫星数据几何精纠正中的应用[J]. 国土资源遥感, 2010,22(s1): 26-29
MENG Kun, LI Ji-na. Rational Function and Its Application in Geometric Precision Correction of Remote Sensing Data from CBERS Satellite[J]. REMOTE SENSING FOR LAND & RESOURCES,2010,22(s1): 26-29 复制到剪切板

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《国土资源遥感》编辑部

有理多项式模型及其在中巴卫星数据几何精纠正中的应用

孟昆^1,^2,³, 李纪娜^2,³

1.中国地质大学(武汉)地球科学学院,武汉 430074

2.河北省遥感中心,石家庄 050021

3.河北水文工程地质勘察院,石家庄 050021

第一作者简介: 孟昆(1978-),男,工程师,主要从事遥感技术与应用研究。

收稿日期: 2010-04-21

基金: 中国地质调查局地质调查项目“全国区域地质环境遥感调查与监测”(编号: 1212010911083)

摘要

对于中巴地球资源卫星二级数据产品而言,几何精纠正数学模型一般为多项式,这在平原区是比较适用的; 但在丘陵区或山区,则有理多项式能提供更高的精度。本文以甘肃省西北部山区为例,对两种几何精纠正方法的试验结果进行对比,并给出精度评价。结果表明: 对于海拔高差4 000 m及以上的地区,一阶有理多项式模型比二次多项式模型提高精度200 %~300 %。

关键词: 有理多项式; CBERS-02

中图分类号:TP79 文献标志码:A 文章编号:1001-070X(2010)增刊-0026-04

Rational Function and Its Application in Geometric Precision Correction of Remote Sensing Data from CBERS Satellite

MENG Kun^1,^2,³, LI Ji-na^2,³

1.China University of Geosciences Faculty of Earth Sciences, Wuhan 430074, China

2.Center of Hebei Remote Sensing,Shijiazhuang 050021, China

3.Hydrogeology Survey Institute, Hebei Province, Shijiazhuang 050021, China

Abstract

For level 2 remote sensing data of CBERS-02 satellite, polynomial model is usually used in geometric precision correction. Compared with polynomial model, rational function has higher precision in hilly or mountain areas. With the mountain area in northwest Gansu Province as an example, the authors compared and evaluated the results of two models applied to geometric precision correction. For an area with elevation over 4 000 m, the precision of rational function is 2~3 times higher than that of polynomial model.

Keyword: Rational function; CBERS-02

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0 引言

中巴地球资源卫星02星(CBERS-02)于2003年10月21日发射升空, 目前仍在轨运行。CBERS-02星二级数据产品被称为系统几何纠正产品, 该产品经过辐射校正和系统几何纠正, 具有地图投影。系统几何纠正基于星历, 无地面控制点和数字高程模型参与, 经过重采样处理。为提高丘陵区或山区CBERS-02星二级数据产品几何精纠正的精度, 本文采用一阶有理多项式模型进行几何纠正, 比采用二次多项式模型提高精度2~3倍。

1 试验区与数据源

试验区位于甘肃省北部。区内地势南高北低, 南部为冰雪覆盖的祁连山脉, 中北部为茫茫的戈壁滩, 最低海拔1 200 m, 最高海拔5 500 m, 最大高差4 300 m, 适于开展不同纠正模型对丘陵区和山区的CBERS-02星数据进行几何精纠正的精度对比研究。

使用的CBERS-02星数据轨道号为022055, 成像时间为2007年7月30日。

2 数学模型

2.1 多项式模型

多项式模型采用二次多项式, 计算公式为

u=a₀+a₁X+a₂Y+a₃XY+a₄X²+a₅Y²(1)

式中, u、v为像方坐标; X、Y为物方坐标。u的残差方程为

l=u-(a₀+a₁X+a₂Y+a₃XY+a₄X²+a₅Y²)(2)

由最小二乘法, 求得u的正规方程为

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} n a_{0} + a_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} + a_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i} + a_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i} + a_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} + a_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i}^{2} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} u_{i} \\ a_{0} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} + a_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} + a_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i} + a_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} Y_{i} + a_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{3} + a_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i}^{2} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} u_{i} \\ a_{0} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i} + a_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i} + a_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i}^{2} + a_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i}^{2} + a_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} Y_{i} + a_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i}^{3} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i} u_{i} \\ a_{0} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i} + a_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} Y_{i} + a_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i}^{2} + a_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} Y_{i}^{2} + a_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{3} Y_{i} + a_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i}^{3} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i} u_{i} \\ a_{0} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} + a_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{3} + a_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} Y_{i} + a_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{3} Y_{i} + a_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{4} + a_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} Y_{i}^{2} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} u_{i} \\ a_{0} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i}^{2} + a_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i} Y_{i}^{2} + a_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i}^{3} + a_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} X_{i}^{2} Y_{i}^{2} + a_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i}^{4} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} Y_{i}^{2} u_{i} \end{matrix} \end{matrix}$ (3)

式中, n为控制点个数, n> 6; u为像方行坐标; X、Y为物方坐标。

2.2 有理多项式模型

有理多项式采用一阶有理多项式, 数学模型为

$u = \begin{matrix} \frac{a_{0} + a_{1} X + a_{2} Y + a_{3} Z}{1 + b_{1} X + b_{2} Y + b_{3} Z} \end{matrix}$ (4)

式中, u的残差方程为

$l = u - \begin{matrix} \frac{a_{0} + a_{1} X + a_{2} Y + a_{3} Z}{1 + b_{1} X + b_{2} Y + b_{3} Z} \end{matrix}$ (5)

式(5)为非线性方程, 令a₀=a'₀+δ ₁, a₁=a'₁+δ ₂, …, b₃=b'₃+δ ₇; 其中a'₀、a'₁、…、b'₃分别为a₀、a₁、…、b₃的近似值; δ ₁、δ ₂、…、δ ₇分别为相应近似值的偏差。则式(5)可化为

$l' = u - \begin{matrix} \frac{a'_{0} + a'_{1} X + a'_{2} Y + a'_{3} Z}{1 + b'_{1} X + b'_{2} Y + b'_{3} Z} \end{matrix} - (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial a_{0}} \end{matrix}$ δ ₁+ $\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial a_{1}} \end{matrix}$ δ ₂+ $\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial a_{2}} \end{matrix}$ δ ₃+…+ $\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial b_{3}} \end{matrix}$ δ ₇) (6)

令 $r = u - \begin{matrix} \frac{a'_{0} + a'_{1} X + a'_{2} Y + a'_{3} Z}{1 + b'_{1} X + b'_{2} Y + b'_{3} Z} \end{matrix}$ ;

s₁= $\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial a_{0}} \end{matrix}$ , s₂= $\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial a_{1}} \end{matrix}$ , …, s₇= $\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial b_{3}} \end{matrix}$ ; 则式(6)可化为

l'=r-(s₁δ ₁+s₂δ ₂+s₃δ ₃+s₄δ ₄+s₅δ ₅+s₆δ ₆+s₇δ ₇) (7)

式(7)为线性化的残差方程, 相应的正规方程为

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} δ_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 1}^{2} + δ_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 2} s_{i 1} + δ_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 3} s_{i 1} + δ_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 4} s_{i 1} + δ_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 5} s_{i 1} + δ_{6} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 6} s_{i 1} + δ_{7} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 7} s_{i 1} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} r_{i} s_{i 1} \\ δ_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 1} s_{i 2} + δ_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 2}^{2} + δ_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 3} s_{i 2} + δ_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 4} s_{i 2} + δ_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 5} s_{i 2} + δ_{6} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 6} s_{i 2} + δ_{7} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 7} s_{i 2} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} r_{i} s_{i 2} \\ δ_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 1} s_{i 3} + δ_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 2} s_{i 3} + δ_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 3}^{2} + δ_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 4} s_{i 3} + δ_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 5} s_{i 3} + δ_{6} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 6} s_{i 3} + δ_{7} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 7} s_{i 3} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} r_{i} s_{i 3} \\ δ_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 1} s_{i 4} + δ_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 2} s_{i 4} + δ_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 3} s_{i 4} + δ_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 4}^{2} + δ_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 5} s_{i 4} + δ_{6} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 6} s_{i 4} + δ_{7} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 7} s_{i 4} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} r_{i} s_{i 4} \\ δ_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 1} s_{i 5} + δ_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 2} s_{i 5} + δ_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 3} s_{i 5} + δ_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 4} s_{i 5} + δ_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 5}^{2} + δ_{6} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 6} s_{i 5} + δ_{7} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 7} s_{i 5} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} r_{i} s_{i 5} \\ δ_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 1} s_{i 6} + δ_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 2} s_{i 6} + δ_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 3} s_{i 6} + δ_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 4} s_{i 6} + δ_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 5} s_{i 6} + δ_{6} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 6}^{2} + δ_{7} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 7} s_{i 6} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} r_{i} s_{i 6} \\ δ_{1} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 1} s_{i 7} + δ_{2} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 2} s_{i 7} + δ_{3} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 3} s_{i 7} + δ_{4} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 4} s_{i 7} + δ_{5} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 5} s_{i 7} + δ_{6} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 6} s_{i 7} + δ_{7} \overset{n}{\sum_{i = 1}} s_{i 7}^{2} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} r_{i} s_{i 7} \end{matrix} \end{matrix}$ (8)

解此方程组可得δ ₁、δ ₂、δ ₃、…、δ ₇的值, 经过数次迭代求得a₀、a₁、a₂、a₃、b₁、b₂和b₃的值; 同理可求得c₀、c₁、c₂、c₃、d₁、d₂和d₃的值。

3 控制点选取

控制点尽量选取相对永久地物点, 控制点布置力求均匀, 在高山区和平原区都有分布。在本景图像中共选取21个控制点, 选自经几何纠正的ETM⁺影像(图1)。

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	图1 控制点、检查点位置示意图(蓝色点为控制点, 绿色点为检查点)

3.1 多项式模型控制点误差

多项式模型控制点均方根误差为3.418个像元, 最大误差为11.537个像元(表1), 都不能满足几何纠正控制点误差要求。

3.2 有理多项式模型控制点误差

有理多项式模型控制点均方根误差为0.597个像元, 最大误差为0.984个像元(表1), 满足几何纠正控制点误差要求。

表1 多项式模型与有理多项式模型控制点误差^①(像元)

4 精度评价

在此景图像中共选取12个检查点用于几何纠正精度评价, 这些检查点均匀分布在图像范围内(图1)。

4.1 多项式模型精度

检查点均方根误差为5.513个像元, 相当于实地距离107.5 m; 最大误差10.623个像元, 相当于实地距离207.1 m(表2)。如果不考虑检查点来源的误差, 此误差可满足1:25万制图平面位置精度要求。

表2 多项式模型与有理多项式模型检查点误差^①(像元)

4.2 有理多项式模型精度

检查点均方根误差为1.52个像元, 相当于实地距离29.64 m; 最大误差2.655个像元, 相当于实地距离51.7 m。同样不考虑检查点来源误差的话, 误差满足1:25万制图平面位置精度要求。很显然, 有理多项式模型的检查点均方根误差和最大误差都远远小于多项式模型的相应误差(表2)。

5 结论

(1)在不考虑检查点来源误差的前提下, 多项式模型和有理多项式模型的几何纠正精度均可满足1:25万制图平面位置精度要求。

(2)对于本次试验使用的CBERS-02星图像数据, 使用有理多项式模型进行几何精纠正比使用多项式模型提高精度2.6倍, 因此在丘陵区和山区, 有理多项式数学模型比多项式模型更接近于物理模型。

(3)对于CBERS-02星二级数据产品, 使用一阶有理多项式模型进行几何精纠正即可达到较高的精度。

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献

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[1]	巩丹超, 张永生. 有理函数模型的解算与应用[J]. 测绘学院学报, 2003, 20(1): 39-42. [本文引用:1]
[2]	Liu S J, Tong X H. Transformation Between Rational Function Model and Rigorous Sensor Model for High Resolution Satellite Imagery[C]//Koelen M T. The International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences. Beijing: ISPRS, 2008: 873-877. [本文引用:1]