多方向小波变换高分影像边缘提取

图1 影像方向性小波变换

Fig.1 Directional wavelet transform of HSR image

利用具有不同方向特性的小波基函数对高分影像进行变换,等价于对影像预先调制再利用水平或垂直方向的小波变换。

Directionlet变换是一种多尺度几何变换工具,相比于其他常用的多尺度几何变换工具除了具有多尺度、多方向和局部化的优点以外还具有标准二维小波变换的计算简单性。其基函数被称为斜各向异性小波基S-AWT(n₁,n₂),n₁和n₂分别表示沿不同方向的变换次数,当n₁=n₂时表明变换是各向同性的,否则为各向异性变换。

定义由2个线性无关的方向向量 $d_{1} = [a_{1}, b_{1}], d_{2} = [a_{2}, b_{2}]$ (斜率分别为r₁=b₁/a₁和r₂=b₂/a₂,且r₁和r₂都为有理数), $d_{1} 和 d_{2}$ 线性组合构成满秩整数格 $Λ$ ,其基本形式用 $M_{Λ}$ 表示为

(1) $M_{Λ} = [\begin{array}{l} a_{1}, b_{1} \\ a_{2}, b_{2} \end{array}]$ = $[\begin{array}{l} d_{1} \\ d_{2} \end{array}]$ $(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} \in Z)$ 。

任一整数格 $Λ$ 均为立方整数格(cubic integer lattice) $Ζ^{2}$ 的子格,即 $Λ \subset Ζ^{2}$ 。

由格理论^[21]可知,完整的格空间被 $M_{Λ}$ 划分为|det( $M_{Λ}$ )|个关于 $Λ$ 的陪集(co-set,CS)。每一个陪集C ${S_{[}}_{S_{k, 1}, S_{k, 2}]}$ 可由格 $Λ$ 通过偏移矢量S_k=[s₁,s₂](k=1,2,...,|det( $M_{Λ}$ )| ,s₁,s₂ $\in Ζ$ )得到。位于格 $Λ$ 及其CS上的像素点的坐标可以表示为(i,j),即

(2) $i=c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+S_{k,1}$

(3) $i=c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+S_{k,2}$

式中: c₁和c₂为任意整数,c₁,c₂ ∈ $Ζ$ ,具体取值视影像大小而定; ${S_{k,}}_{1}$ =s₁; ${S_{k,}}_{2}$ =s₂。当固定任意c₂,遍历c₁时可以得到严格位于 $d_{1}$ 方向上的一条陪线(co-line,CL)。同样,由偏移矢量可以得到其他CS上的CL。反之可以得到 $d_{2}$ 方向上CL。分别沿d₁和d₂方向进行n₁和n₂次一维小波变换则完成了单尺度下的Directionlet变换,详细内容请参考文献[20]。在此不再详细讨论Directionlet变换的整个过程,而是根据其基本理论方法获取多方向一维CL用于进行多方向小波变换。

以 $d_{1} = [- 1,2]$ 和 $d_{2} = [1,1]$ 所构成的一个基本单元格为例。图2(a)中黑色点表示了由 $M_{Λ}$ 生成的一个基本单元格,|det( $M_{Λ}$ )|=3表示平面可以被 $M_{Λ}$ 分解为3个子集,偏移矢量分别为 $S_{1} = [0,0], S_{2} = [0,1], S_{3} = [0,2]$ 。变换c₁和c₂的值完成整个分解过程得到CS_[0,0],其余2个CS_[0,1]和CS_[0,2]上的点可以由CS_[0,0]上的点经过偏移矢量得到。图2(b)表示3条CL,CL上的点都严格位于 $d_{2}$ 方向上,同样其余的 $C L_{S_{k}}$ 也可以通过偏移矢量获得。将上述方法应用于图像,即图2中圆圈视为像素点,完成整个分解过程获取任意有理斜率方向的像素点集合。

图2

图2 格与陪线

Fig.2 Lattice and co-line

2 多方向小波变换

小波变换是对傅里叶变换的发展,是一种在空间域和频率域同时拥有分辨性的多尺度分析方法。小波变换使用小波函数族及相应的尺度函数将原信号分解成不同频率子带。对于连续函数 $f (x)$ ,定义其小波变换为

(4) $WTF(a,b)=\langle f,\psi a,b\rangle =|a|-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\psi(\frac{\overline{t-b}}{a})dt$

式中: $ψ (x)$ 为小波基函数,应满足 $ψ (x) \in L^{2} (R)$ ,且 $\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)dx=0$; a为伸缩因子; b为平移因子。对a和b均进行二进制离散化得到尺度与时间均离散化的小波变换。本文中,对图像的 $d$ 方向的陪线CL进行小波变换,则得到该方向的小波变换系数 $fd$ 。

根据Directionlet变换的基本理论,对于给定的图像可以获取任意有理斜率方向上的CL集合。例如分别采用[1,0],[2,1],[1,1],[1,2]4个方向(分别对应0°,30°,45°,60°)对图像进行多方向性小波变换,并给出变换后的子带系数,其结果如图3所示。

图3

图3 高分影像不同方向小波变换结果

Fig.3 Wavelet transform results of HSR image in different directions

从图3结果可以看出,在不同方向小波的作用下其变换结果不同。由于变换方向与红色圈中道路的方向一致,在Directionlet变换方向消失矩(directional vanishing moments ,DVM)的作用下,边缘在沿30°方向的子带中基本消失,即小波系数较小,在与30°方向相邻的水平和45°方向上的子带中重现但数值仍不大,而在60°方向子带上系数的响应相对较大,且呈高亮状态。

2.1 重定义小波模值计算方法

图像经变换后最重要的是需要选合适的系数进行后处理。以标准小波变换为例, $f_{d 1}$ 和 $f_{d 2}$ 分别是图像 $f$ 经过水平与垂直方向小波变换后的系数,对于图像中的任意一点 $(x, y)$ , $\bigtriangledown f_{d1}(x,y)$和 $\bigtriangledown f_{d2}(x,y)$正好构成了一组梯度矢量,由此可得 $f (x, y)$ 小波变换后的梯度模值Mf(x,y)和幅角Af(x,y)分别为

(5) $Mf(x,y)=\sqrt{\bigtriangledown f_{d1}(x,y)^{2}+\bigtriangledown f_{d2}(x,y)^{2}}$

(6) $Af(x,y)=arctan[\frac{\bigtriangledown f_{d2}(x,y)}{\bigtriangledown f_{d1}(x,y)}]$ 。

由于图像中突变点主要位于图像边缘,这些突变点对应于模极大值,梯度方向指向梯度模极大值,这就意味着可以通过梯度方向寻找模极大值来检测图像边缘^[22]得到初始结果。

传统的方法中,梯度分量只有2个,对其求模和幅角就可以确定梯度大小和方向。而在本方法中变换方向一般为8个方向或4个方向。若以4个方向为例,则图像变换后得到4个梯度分量分别为 $\bigtriangledown f_{d1}$,$\bigtriangledown f_{d2}$,$\bigtriangledown f_{d3}$,$\bigtriangledown f_{d4}$。文献[23]对此处理方法为

(7) $Mf(x,y)=\sqrt{\bigtriangledown f_{d1}(x,y)^{2}+\bigtriangledown f_{d2}(x,y)^{2}+...+\bigtriangledown f_{dn}(x,y)^{2}}n\in Z$。

但这种做法太过笼统,且当变换方向较多时计算量会很大。在实际情况中,多数边缘提取实验中发现,只有少数几个梯度分量的模值较大。这符合人们的认知,由于边缘一般出现在像素灰度值差异较大的地方,通常情况下, $f (x, y)$ 点处的梯度分量最大值出现在该点法线方向,而其他方向梯度分量的模沿法线两侧递减,最小为0,如图4所示。

图4

图4 多方向梯度分量

Fig.4 Multi-direction gradient components

因此可以选取2个模值最大的梯度分量 $\bigtriangledown f_{1}$和 $\bigtriangledown f_{2}$作为候选梯度分量,则

(8) $Mf=\sqrt{\bigtriangledown f^{2}_{1}+\bigtriangledown f^{2}_{2}}$。

2.2 非极大值抑制

非极大值抑制是进行边缘检测的重要步骤,用于寻找局部梯度最大值,细化边缘。其基本思想是: 如果图像 $(x, y)$ 位置上的系数模值大于沿梯度方向两端的值,则认为该像素位置为候选图像边缘,否则为非边缘点。而通常梯度方向介于2个梯度分量方向之间的亚像素点位置上(如图5(a)所示),因此需要对梯度方向两边的梯度值进行插值,得到沿梯度方向上的梯度值。在本文中,选取4个变换方向{[1,0],[1,1],[0,1],[-1,1]},对图像进行实验并加以说明。

图5

图5 2个最大梯度分量方向的位置关系

Fig.5 Position relation of direction of the two maximum gradient components

多数情况下,梯度值最大的方向与次大梯度方向是相邻的,如图5(a)所示。但是当采用多方向小波变换时,由于变换数量较多及影像本身的几何结构等因素,存在部分2个最大梯度方向不相邻的情况,如图5(b)所示。对于第一种情形,采用一般方法,对梯度分量 $\bigtriangledown f_{1}$和$\bigtriangledown f_{2}$插值得到梯度方向上的2个梯度值M₁和M₂,即

(9)

M_{1} = \frac{▽ f_{2}}{▽ f_{1}} f (x, y + 1) + (1 - \frac{▽ f_{2}}{▽ f_{1}}) f (x + 1, y + 1)

(10)

M_{2} = \frac{▽ f_{2}}{▽ f_{1}} f (x, y - 1) + (1 - \frac{▽ f_{2}}{▽ f_{1}}) f (x - 1, y - 1)

比较Mf(x,y)与M₁,M₂值的大小确定当前位置是否为候选边缘点。对于第二种情况,由于系数最大方向与系数第二大方向的位置不相邻,相关性弱,无法直接对其插值求梯度方向模值。因此,将f(x,y)处的值分别与f₁和f₂方向前后值比较,若为局部最大值则保留f(x,y)为候选边缘。图6显示了一幅高分影像经非极大值抑制后的结果。最后采用双阈值法^[24,25]对非极大值抑制后的边缘图像进行弱边缘去除,得到主要边缘。由于图像中通常含有噪声,虽然噪声形成的边缘像素个数较少,但会在部分边缘产生毛刺现象,因此需要采用数学形态学的方法对其进行一定的后处理^[26],得到最终的图像边缘。

图6

图6 高分影像与非极大值抑制后的结果

Fig.6 HSR image and result of non-maximum suppression

2.3 实验流程

本文方法具体步骤如下: ①对每个给定的方向向量 $d = [a, b],$ 将输入图像进行基于格的分解,获取位于给定方向上的一维线集合; ②对第①步中每一条线进行小波变换,使用Haar小波高通滤波器,将变换后的系数恢复为图像矩阵形式,便于计算,从而完成方向性小波变换,得到不同方向小波变换的高频子带; ③重新定义小波系数模值的方法计算每个像素位置模和梯度方向,用非极大值抑制确定候选边缘点,分别采用不同方法处理2个梯度方向是否相邻时的情况; ④采用双阈值法得到边缘结果; ⑤使用数学形态学方法对细节进行适当后处理。多方向小波变换的高分影像边缘提取具体流程如图7所示。

图7

图7 多方向小波变换的高分影像边缘提取流程

Fig.7 HSR image edge extraction flow chart based on multi-direction wavelet transform

3 实验结果与分析

本实验在Intel Core i5 2.7 GHz,4 GB内存的计算机上进行,编程环境为Matlab2014a。数据选择3个地区空间分辨率为0.5 m的彩色航空影像,由于光谱特征对图像边缘提取影响不大,因此将影像预先转为灰度影像,选择地物主体类型为建筑物和道路。大小均为256像素×256像素。选择{[1,0],[1,1],[0,1],[-1,1]}4个方向进行方向性小波变换。将与基于Canny算子的边缘提取结果和基于标准小波变换的边缘提取结果进行对比分析。

3幅实验数据的Canny算子边缘提取结果、小波变换边缘提取结果及本文方法边缘提取结果如图8所示。3幅实验数据Canny算子边缘提取的阈值参数分别选择0.2,0.23和0.23。

图8

图8 实验结果

Fig.8 Results of experiment

由图8(a)—(h)可以看出,由于这2类影像的几何结构较为简单,主要为规则线状结构,边缘与内容部分灰度值差异明显,3种方法均能识别主体边缘,但前2种方法结果在某些较弱边缘线处都发生断裂现象,而本文方法则有效地避免了这种情况。而对于结构较为复杂的高分图像,如图8(i),本文方法明显要优于Canny算子,从图8(l)中可以看出,本文方法获得的结果包含更多更完整的线状边缘。虽然传统方法中选择较小的阈值时可以获得更多更完整的边缘,但是由草地和树冠等形成的纹理区域也包含大量的高频信息,容易形成伪边缘,因此结果很难同时兼顾边缘完整性与去除伪边缘。本文方法在控制由于光照和纹理区的噪声和伪边缘的同时,能够获得更加完整的边缘,这是因为本文方法更好地利用了图像本身的几何结构,有针对性地检测图像的奇异信息,而噪声和光照不均匀造成的伪边缘通常不具备边缘的几何结构。

对比采用小波变换的边缘提取结果可以明显看出,本文方法优于标准小波方法,因为标准小波变换只能检测水平和垂直方向奇异点,对于非垂直与水平的弱边缘小波系数被分解到垂直与水平子带,没有充分利用图像的几何结构信息。而基于多方向性小波变换可以检测任意方向的奇异点,从中选取较大系数,有利于获取丰富连续的图像边缘。

但是在多次的实验结果对比分析中,本文方法也存在一些缺陷。例如对于某些较弱的边缘或者较小地物的边缘提取结果中发现仍有部分像素点断裂的情况。可能存在的原因在于部分阈值设置不恰当,或未考虑多尺度的方法。某种程度上地物的边缘也可以视为是多尺度的统一,使用单一或区间阈值时能够得到某个尺度下较好的边缘结果,但在多尺度下提取结果会不可避免地出现问题。

4 结论

本文提出一种图像边缘提取方法,对高空间分辨率遥感影像进行边缘信息提取。首先分析了传统边缘提取方法和小波边缘提取方法存在的不足之处,再根据高分遥感影像的自身几何结构特性提出多方向性小波变换边缘提取方法,兼顾了一维小波变换计算简单性和二维多尺度几何分析多方向性。对比实验结果表明,本文方法相对于传统方法能够更好地提取高分影像边缘,具有应用有效性。

小波变换是一种多尺度的表达工具,高分影像空间分辨率较高,地物内部细节更加详细,使用单一尺度的边缘提取过于笼统。在应用中,有时需要忽略较小地物目标而更多关注整体的轮廓信息,有时则不然。因此,充分利用高分影像的优势,在不同尺度空间下提取图像边缘信息的更有效方法是今后仍需继续研究的问题。

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针对传统的小波变换提出了一种图像融合的边缘检测方法．在边缘不连续和抑制噪声能力弱的问题给出了一种改进的小波变换方法．并对原图像分别采用改进的小波变换和Canny算子两种方法进行边缘提取，再将两种方法的检测结果进行图像融合．实验证明融合后的图像结合了两种检测方法的优点，是一种有效地图像边缘检测方法．

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边缘检测是图像处理中非常重要的一个环节,针对图像边缘检测中噪声抑制与细节保留之间的矛盾,提出了一种改进的基于Canny算子的边缘检测算法,采用小波变换和改进的自适应中值滤波器替代Canny算法中高斯滤波器对图像做去噪工作;采用3×3邻域代替Canny算法中2×2邻域来计算梯度幅值.仿真实验结果较好地说明了改进算法的性能:很好地抑制噪声对边缘检测的干扰,而且能保留边缘信息,能较好地检测出图像的边缘,检测精度高.改进的方法在保持了Canny算子原有的定位准确、单边缘响应和信噪比高等优点的基础上,提高了Canny算子在提取图像边缘细节信息和抑制假边缘方面的性能.

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<p>讨论了数学形态学的基本原理及其在毫米波辐射遥感图像边缘检测中的应用，提出了一种用灰度形态变换原理进行检测的有效算法。对一幅毫米波图像的实验结果表明，该算法具有较好的抗噪和边缘提取能力，比传统的基于模板的图像边缘检测算法具有更好的边缘提取效果。</p>

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Directionlets:Anisotropic multidirectional representation with separable filtering

[J] IEEE Transactions on Image Processing, 2006,15(7):1916-1933.

DOI:10.1109/TIP.2006.877076 URL PMID:16830912 [本文引用: 2]

In spite of the success of the standard wavelet transform (WT) in image processing in recent years, the efficiency of its representation is limited by the spatial isotropy of its basis functions built in the horizontal and vertical directions. One-dimensional (1-D) discontinuities in images (edges and contours) that are very important elements in visual perception, intersect too many wavelet basis functions and lead to a nonsparse representation. To efficiently capture these anisotropic geometrical structures characterized by many more than the horizontal and vertical directions, a more complex multidirectional (M-DIR) and anisotropic transform is required. We present a new lattice-based perfect reconstruction and critically sampled anisotropic M-DIR WT. The transform retains the separable filtering and subsampling and the simplicity of computations and filter design from the standard two-dimensional WT, unlike in the case of some other directional transform constructions (e.g., curvelets, contourlets, or edgelets). The corresponding anisotropic basis unctions (directionlets) have directional vanishing moments along any two directions with rational slopes. Furthermore, we show that this novel transform provides an efficient tool for nonlinear approximation of images, achieving the approximation power O(N(-1.55)), which, while slower than the optimal rate O(N(-2)), is much better than O(N(-1)) achieved with wavelets, but at similar complexity.

[21]

Chan T

, Yip R

K K

Line detection algorithm [C]//13th International Conference on Pattern Recognition

.Vienna:IEEE, 1996: 126-130.

DOI:10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.03.045 URL [本文引用: 1]

[22]

江宇博, 刘波 .

小波模极大值法与数学形态学边缘检测细化结果

[J]. 计算机测量与控制, 2017,25(3):165-168.

图像边缘检测的关键是尽可能多的检测到边缘并且抑制噪声的同时,尽可能的满足单线的边缘定位精度;为此选取了一种融合小波模极大值和数学形态学的边缘检测方法来获取图像边缘;首先在对图像进行小波分解,分别利用模极大值法和多尺度多结构数学形态学方法来处理小波分解的髙频分量和低频分量,利用差影法对二者的结果进行融合;然后利用大律法得到二值化图像,并用形态学边缘细化算法细化图像边缘得到最后结果;实验结果显示,融合的方法可以得到比较完善的边缘,经过二值化和边缘细化后,获得的单线宽边缘更加清晰,定位精度更髙.

Jiang Y

, Liu

Wavelet modulus maxima method and mathematical morphology edge detection thinning results

[J]. Computer Measurement and Control, 2017,25(3):165-168.

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2014.01.032 URL [本文引用: 1]

[23]

Zhang

, Ma S

, Liu

, et al.

An edge detection approach based on directional wavelet transform

[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2009,57(8):1265-1271.

DOI:10.1016/j.camwa.2008.11.013 URL [本文引用: 1]

The standard 2D wavelet transform (WT) has been an effective tool in image processing. In recent years, many new transforms have been proposed successively, such as curvelets, bandlets, directional wavelet transform etc, which inherit the merits of the standard WT, and are more adequate at the 2D image processing tasks. Intuitively, it seemed that applying these novel tools to edge detection should acquire finer performance. In this paper, we propose an edge detection approach based on directional wavelet transform which retains the separable filtering and the simplicity of computations and filter design from the standard 2D WT. In addition, the corresponding gradient magnitude is redefined and a new algorithm for non-maximum suppression is described. The experimental results of edge detection for several test images are provided to demonstrate our approach.

[24]

张志强, 宋海生 .

应用Otsu改进Canny算子的图像边缘检测方法

[J]. 计算机与数字工程, 2014,42(1):122-128,141.

针对传统Canny算子进行边缘检测时易丢失边缘细节的缺陷,提出了一种改进的Canny边缘检测算法.首先从数学形态学角度分析传统Canny思想和缺陷；接着提出应用尺度自适应调整的高斯滤波器改进传统高斯平滑滤波；然后使用最大类间分差法（Otsu）替代传统双阈值检测算法求出最佳阈值,有效平衡去噪能力和保留边缘细节信息二者之间的矛盾；为解决Otsu遍历时间长,实时性差的缺点,提出应用Kalman滤波器最小误差估计算法预先估计后续图像序列的阈值范围,以加快遍历过程；最后进行实验分析比较,证明该算法可以更快速有效地检测出图像的边缘.

Zhang Z

, Song H

Application of Otsu to improve image edge detection method in Canny algorithm

[J]. Computer and Digital Engineering, 2014,42(1):122-128,141.

[25]

梁光明, 唐朝京, 刘东华 , 等.

基于分割评价的多层次自适应双阈值分割算法

[J]. 电子学报, 2009,37(4):750-752,763.

DOI:10.3321/j.issn:0372-2112.2009.04.014 URL Magsci [本文引用: 1]

论文通过分析最大信息熵双阈值分割算法原理,根据先验知识,设置目标出现最小最大频度条件,改变自适应双阈值计算条件,加快计算速度.同时通过计算分割后各个目标相关特征,利用BP神经网络技术对每个目标进行评价,根据评价结果修改原输入图像相应目标区域,并引入多层次迭代机制,实现了图像的多层次综合分割.实验结果表明,基于分割评价的多层次自适应双阈值分割算法提高了算法的通用性和分割的精确性,但是算法复杂性增加.

Liang G

, Tang C

, Liu D

, et al.

A multi-level and adaptive dual threshold segmentation algorithm based on evaluation

[J]. Acta Electronica Sinica, 2009,37(4):750-752,763.

[26]

周绍光, 孙金彦, 凡莉 , 等.

高分辨率遥感影像的建筑物轮廓信息提取方法

[J]. 国土资源遥感, 2015,27(3):52-58.doi: 10.6046/gtzyyg.2015.03.10.

URL Magsci [本文引用: 1]

针对高分辨率遥感影像分割方法提取的建筑物边缘不准确和不规则等问题,提出了一种新的边缘轮廓信息提取方法: 首先,通过一维Gabor滤波器获取建筑物的角度纹理特征,并结合光谱特征构造待分割的特征矢量,在运用高斯混合模型(Gaussian mixture model,GMM)构造图的基础上,利用图割法(graph cuts)获取建筑物候选点,经数学形态学处理得到建筑物斑块; 然后,根据Radon变换检测建筑物主方向,构建最小二乘匹配模板,并利用该模板在建立的轮廓缓冲区内精确地提取建筑物拐角点; 最后,连接拐角点,完成了轮廓信息的提取。采用合成图像和高分辨率遥感影像提取建筑物轮廓信息的实验证明了该方法的可行性。

Zhou S

, Sun J

, Fang

, et al.

Extraction of building contour from high resolution images

[J]. Remote Sensing for Land and Resources, 2015,27(3):52-58.doi: 10.6046/gtzyyg.2015.03.10.